4. （2017江苏南京）
问题情境
已知矩形的面积为a（a为常数，a＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？ 数学模型
a??设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为y?2?x???x?0?．
x??探索研究
1(1)我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数y?x?(x＞0)的图象性质．
x①填写下表，画出函数的图象
x …… 1 1 1 1 2 3 4 …… 432y …… …… ②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；
③在求二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方
1得到．请你通过配方求函数y?x?(x＞0)的最小值．
x解决问题
（2）用上述方法解决“问题
点E．
(1)如图1，当∠ACB=90°时，则线段DE、CE之间的数量关系为 ； (2)如图2，当∠ACB=120°时，求证：DE=3CE；
(3)如图3，在(2)的条件下，点F是BC边的中点，连接DF，DF与AB交于G，△DKG和△DBG关于直线DG对称(点B的对称点是点K)，延长DK交AB于点H． 若BH=10，求CE的长．
情境”中的问题，直接写出答案．
y 5 4 3 2 1 －1 O －1 1 2 3 4 5 x 5. (2017黑龙江哈尔滨)已知：在△ABC中，BC=2AC，∠DBC=∠ACB，BD=BC，CD交线段AB于
三、测试提高
1. （2017北京）问题：已知△ABC中，?BAC=2?ACB，点D是△ABC内的一点，且AD=CD，BD=BA．
探究?DBC与?ABC度数的比值． 请你完成下列探究过程：
先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明． (1) 当?BAC=90?时，依问题中的条件补全下图． 观察图形，AB与AC的数量关系为 ；
当推出?DAC=15?时，可进一步推出?DBC的度数为 ；
可得到?DBC与?ABC度数的比值为 ；
(2) 当?BAC?90?时，请你画出图形，研究?DBC与?ABC 度数的比值是否与(1)中的结论相同，写出你的猜想并加以 证明．
BCA
第十讲 中考压轴题十大类型之圆
1． （2017湖南湘潭）已知，AB是⊙O的直径，AB=8，点C在⊙O的半径OA上运动，PC⊥AB，
垂足为C，PC=5，PT为⊙O的切线，切点为T． （1）如图（1），当C点运动到O点时，求PT的长；
（2）如图（2），当C点运动到A点时，连结PO、BT，求证：PO∥BT； （3）如图（3），设PT2?y，AC?x，求y与x的函数关系式及y的最小值．
PPPTTT
AO(C)图（1）B A(C)O图（2）BACO图（3）B2． （2017广东广州）如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D
是弧APB上任一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C． （1）求弦AB的长；
（2）判断∠ACB是否为定值，若是，求出∠ACB的大小；否则，请说明理由； （3）记△ABC的面积为S，若
S＝43，求△ABC的周长． 2C DE
3． （2017福建莆田）已知菱形ABCD的边长为1．∠ADC=60°，等边△AEF两边分别交边DC、
CB于点E、F．
（1）特殊发现：如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点．求证：菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为等边△AEF的外心；
（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动．记等边△AEF的外心为点P． ①猜想验证：如图2，猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；
A O P D E B
②拓展运用：如图3，当△AEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于点M，交边DC
11?的延长线于点N，试判断是否为定值．若是．请求出该定值；若不是．请说明理由． DMDN
C图2 NFBECCPFF
BB
4． (2017四川成都)在平面直角
EDODEDMPA坐标系xOy中，抛物线
AA图3 y?a2x?bx?与cx轴交于
A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为(?3，0)，若将经过A、C两点的
直线y?kx?b沿y轴向下平移3个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线x??2． （1）求直线AC及抛物线的函数表达式；
（2）如果P是线段AC上一点，设△ABP、△BPC的面积分别为S?ABP、S?BPC，且
S?ABP:S?BPC，求点P的坐标； ?2:3（3）设⊙Q的半径为1，圆心Q在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在⊙Q与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由．并探究：若设⊙Q的半径为r，圆心Q在抛物线上运动，则当r取何值时，⊙Q与两坐标轴同时相切？
5． （2017福建福州）如图1，在平面直角坐标系中，点B在直线y?2x上，过点B作x轴的垂线，
垂足为A，OA=5．若抛物线y?（1）求该抛物线的解析式；
（2）若A点关于直线y?2x的对称点为C，判断点C是否在该抛物线上，并说明理由； （3）如图2，在（2）的条件下，⊙O1是以BC为直径的圆．过原点O作⊙O1的切线OP，P为切点（P与点C不重合），抛物线上是否存在点Q，使得以PQ为直径的圆与⊙O1相切？若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由．
12x?bx?c过点O、A两点． 6
三、测试提高
1. （2017广西崇左）已知抛物线y=x2+4x+m（m为常数）经过点（0，4）．
（1）求m的值；
（2）将该抛物线先向右、再向下平移得到另一条抛物线．已知平移后的抛物线满足下述两个条件：它的对称轴（设为直线l2）与平移前的抛物线的对称轴（设为直线l1）关于y轴对称；它所对应的函数的最小值为-8． ①试求平移后的抛物线的解析式；
②试问在平移后的抛物线上是否存在点P，使得以3为半径的圆P既与x轴相切，又与直线l2相交？若存在，请求出点P的坐标，并求出直线l2被圆P所截得的弦AB的长度；若不存在，请说明理由．
中考数学压轴题十大类型经典题目2017
