2006年考研数学（三）真题
一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）lim???1?n?n?1??n???n??______.
f?x?（2）设函数f(x)在x?2的某邻域内可导,且f??x??e（3）设函数f(u)可微,且f??0??（4）设矩阵A??，f?2??1，则f????2??____.
?1,2?1,则z?f?4x2?y2?在点(1,2)处的全微分dz2?_____.
?21??，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA?B?2E，则B? . ?12??（5）设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间?0,3?上的均匀分布，则Pmax?X,Y??1?_______. （6）设总体X的概率密度为f?x??样本方差为S2，则ES?____.
二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把
所选项前的字母填在题后的括号内.
（7）设函数y?f(x)具有二阶导数，且f?(x)?0,f??(x)?0，?x为自变量x在点x0处的增量，?y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若?x?0，则
(A) 0?dy??y. (B) 0??y?dy.
(C) ?y?dy?0. (D) dy??y?0 . [ ]
2??1?xe????x????,X1,X2,2,Xn为总体X的简单随机样本，其
（8）设函数f?x?在x?0处连续，且limh?0f?h2?h2?1，则
(A) f?0??0且f???0?存在 (B) f?0??1且f???0?存在
(C) f?0??0且f???0?存在 (D)f?0??1且f???0?存在 [ ] （9）若级数
?an?1n?n收敛，则级数
(A)
?an?1?收敛 . （B）
?(?1)n?1??nan收敛.
(C)
?anan?1收敛. (D)
n?1?an?an?1收敛. [ ] ?2n?1（10）设非齐次线性微分方程y??P(x)y?Q(x)有两个不同的解y1(x),y2(x),C为任意常数，则该方程的
通解是
（Ａ）C?y1(x)?y2(x)?. （Ｂ）y1(x)?C?y1(x)?y2(x)?.
（Ｃ）C?y1(x)?y2(x)?. （Ｄ）y1(x)?C?y1(x)?y2(x)? [ ]
（11）设f(x,y)与?(x,y)均为可微函数，且?y?(x,y)?0，已知(x0,y0)是f(x,y)在约束条件?(x,y)?0下的一个极值点，下列选项正确的是
(A) 若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. (B) 若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. (C) 若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0.
(D) 若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. [ ] （12）设?1,?2,,?s均为n维列向量，A为m?n矩阵，下列选项正确的是
(A) 若?1,?2,(B) 若?1,?2,(C) 若?1,?2,(D) 若?1,?2,,?s线性相关，则A?1,A?2,,?s线性相关，则A?1,A?2,,?s线性无关，则A?1,A?2,,?s线性无关，则A?1,A?2,,A?s线性相关. ,A?s线性无关. ,A?s线性相关.
,A?s线性无关. [ ]
（13）设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的?1倍加到第2列得C，记
?110???P??010?，则
?001???（Ａ）C?P?1AP. （Ｂ）C?PAP?1.
（Ｃ）C?PTAP. （Ｄ）C?PAPT. ［ ］
2（14）设随机变量X服从正态分布N(?1,?12)，Y服从正态分布N(?2,?2)，且
P?X??1?1??P?Y??2?1?
则必有
(A) ?1??2 (B) ?1??2
- 2 -
(C) ?1??2 (D) ?1??2 [ ] 三 、解答题：15－23小题，共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分7分）
设f?x,y??yy?,x?0,y?0,求 1?xyarctanxy???1?ysin?x(Ⅰ) g?x??limf?x,y?；
g?x?. (Ⅱ) lim?x?0（16）（本题满分7分） 计算二重积分
??Dy2?xydxdy，其中D是由直线y?x,y?1,x?0所围成的平面区域.
（17）（本题满分10分）
证明：当0?a?b??时，
bsinb?2cosb??b?asina?2cosa??a.
（18）（本题满分8分）
在xOy坐标平面上，连续曲线L过点M?1,0?，其上任意点P?x,y??x?0?处的切线斜率与直线OP的斜率之差等于ax（常数a>0）.
(Ⅰ) 求L的方程；
(Ⅱ) 当L与直线y?ax所围成平面图形的面积为（19）（本题满分10分）
8时，确定a的值. 3?1?x2n?1?求幂级数?的收敛域及和函数s(x). n2n?1??n?1?n?1（20）（本题满分13分）
设4维向量组?1??1?a,1,1,1?,?2??2,2?a,2,2?,?3??3,3,3?a,3?, ?4??4,4,4,4?a?，问a为何值时?1,?2,?3,?4线性相关?当?1,?2,?3,?4线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.
（21）（本题满分13分）
设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量?1???1,2,?1?,?2??0,?1,1?是线性方程组
TTTTTTAx?0的两个解.
(Ⅰ)求A的特征值与特征向量；
(Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵?,使得QAQ??；
T3??（Ⅲ）求A及?A?E?，其中E为3阶单位矩阵.
2??
- 3 -
6
2006年考研数学三真题及答案解析
