最小二乘法在商业活动中的应用及其在MATLAB的实现

由天下分享时间：2025/5/30 16:33:34 加入收藏我要投稿点赞

王珍萍

【摘要】最小二乘法是一种很重要的计算技巧与方法.它的应用范围非常广泛，尤其是随着经济和社会发展程度的不断提高，最小二乘法被广泛应用于商业活动中.其优势作用在于通过曲线拟合的方法以及数学软件matlab的运用来得到实际函数，让商家得到最大利润的同时，合理生产，避免资源浪费. 【期刊名称】广西科技师范学院学报【年(卷),期】2024(033)001 【总页数】4

【关键词】最小二乘法；matlab；商业活动

0 引言

最小二乘法的运用最初使用是在天文学研究中.在1805年时，法国科学家勒得让最早提出了最小二乘法.而高斯在1809年发表的天体运动理论中使用了最小二乘法，并在1829年提供了最小二乘法的优化效果强于其他证明的方法，因此被称为高斯-莫卡夫定理［1］.

最小二乘法出现后，随着社会的进步以及经济的发展，在商业活动中的应用越来越多，常用在经济预测，如诸多企业预测产品的产量以及避免盲目生产造成的资源浪费与寻求最大利润.以及在交通领域的应用，推算各地区的交通量等.在这里文章介绍最小二乘法的基本原理和它在商业活动中的应用以及其在数学应用软件matlab中的应用，其主要工作如下.

（1）介绍最小二乘法的基本原理与最小二乘法的曲线拟合问题. （2）介绍最小二乘法在商业活动中的应用实例.

（3）介绍最小二乘法在matlab中的应用，以及其在matlab实现曲线拟合具体使用方法.

1 最小二乘法概述和曲线拟合问题

最小二乘法为一种数学优化技术，通过收集的数据以及生产过程与经营过程中的经验数据的积累对其进行分析处理，通过最小化误差的平方以及寻找数据的最佳函数匹配.利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，使这些数据与实际数据间的最小误差的平方和最小［2］.其为采用实验中的数据与社会调查所得数据，建立线性公式.在建立线性公式过程中有许多种方法来得到样本的回归函数，但在实际应用中最常采用的方法为最小二乘法.

如果变量x与y有精确的线性关系如y=ax+b，其测量值与回归值相等，但在现实生活中并不尽如此.例如人的性别与身高的关系，我们都知道并不是男性身高一定高于女性，而女性身高一定低于男性，男性的身高与女性的身高有一定的关系，但是其关系并不能用函数y=ax+b来表示，其关系需要通过数学的方法，将调查统计的数据描绘出来，然后通过曲线拟合来找到最合适的函数，在此过程中，最常使用的方法为最小二乘法.

最小二乘法具体就是选择合适的a0与a1使得全部观测到的残差平方和最小.其公式表达式如下

其中ei为残差值，为真实值Yi与估计值Yi的差，总之最小二乘法就是使得真实值与估计值差的平方和最小，由此进行选择a0与a1的方法［3］.

曲线拟合即对一个复杂函数f(x)，求出一个简单的便于计算的简单函数p(x)，它要求这两个函数尽可能接近，误差尽可能的小，p(x)通常为n次多项式，有理函数以及分段低次多项式，在最小二乘法中我们把估计值与实测值之间的差

称为残差［4］.即：

残差的大小为衡量拟合好坏的重要指标.我们通常遵从以下三种衡量标准：使残差的最大绝对值最小；使残差的绝对值和最小；使残差的平方和最小.

在工程实践中曲线拟合常采用第三种方法，其计算简便，而第一、第二种方法由于带有绝对值不利于计算.曲线拟合的最小二乘法问题可以概述为根据一个已知数据，选取一个近似的函数使得残差的平方和最小，这种求得近似函数的方法为曲线拟合的最小二乘法.

2 最小二乘法在商业活动中的应用

某公司2000—2010年的销售情况如下表1所示.

在处理时我们将2000年作为基准，取其为x=1，同理2010年，记为x=11，由图1可知调查数据是非线性的，它的曲线分布是指数型的.我们可以使用经验公式

来实现曲线拟合.

由于这个经验公式（3）为非线性的，我们首先要将其取对数，然后将其转化为线性函数，再运用最小二乘法来确定这个线性函数

其中z=Iny，A=β，B=Inα，Iny=Inα+βx，通过计算的 α，β 值.记xi=（1，2，3，…，11），yi为各年的销售额，所得数据如下表2所示. 由此数据得出由其可得