第十六届“希望杯”全国数学邀请赛
初二 第2试
4月17日 上午8∶30至10∶30
得分
一、选择题（每小题5分，共50分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内.
1、若a，b均为正整数，m=ab(a＋b)，则（ ）
A．m一定是奇数 B．m一定是偶数
C．只有当a，b均为偶数时，m是偶数 D．只有当a，b一个为偶数，另一个为奇数时，m是偶数 2、设b?a?0，a?b?5a?b等于（ ） ab，则
2a?b11A． B．－ C．－3 D．3
33223c3、Given a，b，c are positive integers，and a，b are prime numbers，a?b?a?2005，then the value of
a?b?c is（ ）
A．14 B．13 C．12 D． 11
(英汉词典 positive integers：正整数. prime numbers：质数)_
4、购买铅笔7支，作业本3个，圆珠笔1支共需3元；购买铅笔10支，作业本4个，圆珠笔1支共需4元，则购买铅笔11支，作业本5个，圆珠笔2支共需（ ）
A．4.5元 B．5元 C．6元 D．6.5元 5、计算机将信息转换成二进制数来处理.二进制是“逢二进一”，如二进制数(1101)2转换成十进制数是1×23＋1×22＋0×21＋1×3，那么二进制数(111?111?????)2转换成十进制数是（ ）
2005个1A．2＋1 B．2 C．2－1 D．2＋1
6、已知△ABC的三个内角的比是m∶(m＋1) ∶(m＋2)，其中是m大于1的正整数，那么△ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
7、已知△ABC的三条高的比是3∶4∶5，且三条边的长均为整数，则△ABC的边长可能是（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16 8、已知两位数ab能被3整除，它的十位数字与个位数字的乘积等于它的个位数字，且它的任意次幂的个位数字等于它的个位数字。这样的两位数共有（ ）
A．1个 B．3个 C．4个 D．5个
9、放成一排的个盒子中共有4010个小球，其中最左端的盒子中放了a个小球，最右端的盒子中放了b个小球，如果任何相邻的12个盒子中的小球共有24个，则（ ）
A．a=b=2 B．a=b=1 C．a=1，b=2 D．a=2，b=1
??x?y?y?z?z?x?4,10、已知整数x，y，z满足x≤y＜z，且?那么x2＋y2＋z2的值等于（ ）
??x?y?y?z?z?x?2.A．2 B．14 C．2或14 D．14或17
二、填空题（每小题5分，共50分.含两个空的小题，前空3分，后空2分.）
11、如果|a|=3，|b|=5，那么|a＋b|－|a－b|的绝对值等于 .
12、已知
112x?5xy?2y= . ??5，则
xyx?2xy?y13、某汽车从A地驶向B地，若每分钟行驶a千米，则11点到达，若每分钟行驶地还有10千米；如果改变出发时间，若每分钟行驶
2a千米，则11∶离B33a千米，则11点到达，若每分钟行驶a千米，则11∶4经超过B地30千米。A、B两地的路程是 千米。
14、若M?abc321是一个六位数，其中a，b，c是三个互异的数字，且都不等于0，1，2，3，又M是7的倍数，那么M的最小值是 .
15、分解因式：(x?1)(x?2)(x?3)(x?6)?x? . 16、若在凸n(n为大于3的自然数)边形的内角中，最多有M个锐角，最少有m个锐角，则M= ； m= . 17、如图1，等腰Rt△ABC的直角边长为32，从直角顶点A作斜边BC的垂线交BC于D1，再从D1作D1D2⊥AC交AC于D2，再从D2作D2D3⊥BC交BC于D3，…，则AD1＋D2D3＋D4D5＋D6D7＋D8D9= ；D1D2＋D3D4＋D5D6＋D7D8＋D9D10= . B A
B D1
D3
D5
D2 D4 C 图1
A F 图2
C
图3
A 图4
B E G 2F C E D
18、如图2，将三角形纸片ABC沿EF折叠可得图3(其中EF∥BC)，已知图3的面积与原三角形的面积之比为3∶4，且阴影部分的面积为8平方厘米，则原三角形面积为 平方厘米。 19、如图4，△ABC中，BC∶AC=3∶5，四边形BDEC和ACFG均为正方形，已知△ABC与正方形BDEC的面积比是3∶5，那么△CEF与整个图形的面积比等于 .
果正整数n有以下性质：n的八分之一是平方数，n的九分之一是立方数，它的二十五分之一是五次方数，那么n就称为“希望数”，则最小的希望数是 . 三、解答题（每题10分，共30分） 要求：写出推算过程.
21、图5是一个长为400米的环形跑道，其中A、B为跑道对称轴上的两点， 且A、B之间有一条50米的直线通道。甲、乙两人同时从A点出发，甲按 逆时针方向以速度v1沿跑道跑步，当跑到B点处时继续沿跑道前进，乙按 顺时针方向以速度v2沿跑道跑步，当跑到B点处时沿直线通道跑回A点处。
B 甲 A 乙 乙 甲
图5
假设两人跑步时间足够长。求：
⑴如果v1∶v2=3∶2，那么甲跑了多少路程后，两人首次在A点处相遇？ ⑵如果v1∶v2=5∶6，那么乙跑了多少路程后，两人首次在B点处相遇？
22、⑴如果a是小于数，且
1可化为一个循环小数，那么a的取值有哪几个？ a1⑵如果a是小于数，且可化为一个循环小数，那么a的取值有哪几个？
a
23、如图6，正三角形ABC的边长为a，D是BC的中点，P是AC边上的点，连结PB和PD得到△PBD。求：
⑴当点P运动到AC的中点时，△PBD的周长； ⑵△PBD的周长的最小值。
P A B D 图6
C
第十六届“希望杯”全国数学邀请赛
参考答案及评分标准
初中二年级 第2试
一、选择题（每小题5分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D B C A B C A A
二、填空题（每小题5分，含两个空的小题，前空3分，后空2分）
14 15 16 17 18 19 20 题号 11 12 13
5
2722 答案 6 754 468321 (x?6x?6) 3；0 312；31 16 215·312 224
三、解答
题
21、⑴设甲跑了n圈后，两人首次在A点处相遇，再设甲、乙两人的速度分别为v1=3m，v2=2m， 由题意可得在A处相遇时，他们跑步的时间是是
400n （2分） 3m400n800?2m?n （3分） 3m3800因为乙跑回到A点处，所以（4分） n应是250的整数倍，从而知n的最小值是15，
3所以甲跑了15圈后，两人首次在A点处相遇 （5分）
⑵设乙跑了250p?200米，甲跑了400q?200米时，两人首次在B点处相遇，设甲、乙两人的速度分别为v1=5m，v2=6m，由题意可得
8q?45p?4400q?200250p?200，即 ， （7分） ??565m6m所以48q?24?25p?20，即48q?4?25p(p，q均为正整数)。
所以p，q的最小值为q=2，p=4， （8分）
此时，乙跑过的路程为250×4＋1米）。 （9分）
所以乙跑了1后，两人首次在B点处相遇。 （10分） 22、⑴小于数有2，3，5，7，11，13，17，19 （2分）
除了2和5以外，其余各数的倒数均可化为循环小数， （4分） 所以a可以取：3，5，7，11，13，17，19。 （5分）
⑵由⑴可知，只要合数a的因数中含有2或5以外的质数，那么该数的倒数均可化为循环小数，（8分） 所以a可以取：6，9，12，14，15，18。 （10分） 23、⑴如图1，当点P运动到AC的中点时，BP⊥AC，DP∥AB， （2分） 所以 BP?311a，DP?a，BD?a， （4分） 222
?3??即△ABC的周长为BP＋DP＋BD=??2?1?a。 （5分）
??A E A
P
P G F
C C B B D D 图2 图1
⑵如图2，作点B关于AC的对称点E，连结EP、EB、ED、EC，则PB＋PD=PE＋PD，因此ED的长就是PB＋PD的最小值，即当点P运动到ED与AC的交点G时，△PBD的周长最小。 （7分）
1?1?2从点D作DF⊥BE，垂足为F，因为BC=a，所以BD?a，BE?2a??a??3a。
2?2?因为∠DBF=30°，所以DF?2311a， BD?a，BF?BD2?DF2?424EF?BE?BF?337a，DE?DF2?EF2?a。 （9分） 42171?7a?a?a。 （10分） 222所以△PBD的周长的最小值是
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