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4.1.1 有理指数(一)
【教学目标】
1. 理解整数指数幂及其运算律，并会进行有关运算． 2. 培养学生的观察、分析、归纳等逻辑思维能力．
3. 培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；培养学生合作交流等良好品质． 【教学重点】
零指数幂、负整指数幂的定义． 【教学难点】
零指数幂及负整指数幂的定义过程，整数指数幂的运算． 【教学方法】
这节课主要采用问题解决法和分组教学法．在引入指数幂时，以在国际象棋棋盘上放米粒为导入素材，既体现数学的应用价值，也能引起学生的学习兴趣．从正整指数的运算法则中的
amm-n
(m＞n，a ≠ 0) n＝aa
这一法则出发，通过取消m＞n的限制引入了零指数幂和负整指数幂的定义，从而把正整指数幂推广到整数指数幂．在本节教学中，要以取消m＞n这一条件为出发点，让学生积极大胆地猜想，以此增强学生的参与意识，从而提高学生的学习兴趣．
【教学过程】 环节 导 入 教学内容 在一个国际象棋棋盘上放一些米粒，第一格放1粒，第2格放2粒，第3格放4粒……一直到第64格，那么第64格应放多少粒米？ 第1格放的米粒数是1； 第2格放的米粒数是2； 第3格放的米粒数是2×2； 第4格放的米粒数是22×2×个2 2； 第5格放的米粒数是2×2×2×2； 3个2 …… 4个2 第64格放的米粒数是2×2×2×…×2. 师生互动 设计意图 学生在教师的引导下观察通过问题的引入图片，明确教师提出的问题，通激发学生学习的兴过观察课件，归纳、探究答案． 趣． 师：通过上面的解题过程，在问题的分析过你能发现什么规律？那么第64程中，培养学生归纳推格放多少米粒，怎么表示？ 理的能力． 学生回答，教师针对学生的为引出an设下伏回答给予点评．并归纳出第64笔． 格应放的米粒数为263． 用计算器使问题师：请用计算器求263的值． 得到解决． 学生解答． 学生在初中已学过此概念，用投影的形式展现，学生容易联想起以前的内容． 明确各部分的名称．通过强调n是正整数，为零指数和负整指数的引入作铺垫． 通过练习，让学生回顾正整指数幂的运算律． 由特殊到一般，新 课 新 课 新 课 一、正整指数幂 教师板书课题． 63个2 1．定义 学生理解概念． 一般地，an (n?N+) 叫做a的n次教师强调n是正整数． 幂，a叫做幂的底数，n叫做幂的指学生回顾正整指数幂的运数．并且规定： 算法则，并尝试解决练习1、2． a1＝a． 练习1，学生分小组抢答； 练习2，学生通过约分解得 指数 (n?N＋) an 幂 n是正整数时，当an叫正整指数幂．23＝1． 23练习1 填空 (1) 23×24＝ ；am?an＝ ； m－n am师：如果取消 ＝aan(2) (23)4＝底数 ；(am)n＝ ； (m＞n，a ≠ 0) 中m＞n的限制，24am(3) 3＝ ；n＝ (m＞n，2a如何通过指数的运算来表示？ 页眉内容
a≠0)； (4) (xy)3＝ ；(ab)＝ ． 23练习2 计算 3 ． 2二、零指数幂 规定： a0＝1 (a≠0) 练习3 填空 (1) 80＝ ； (2) (－0.8)0＝ ； 练习4 式子 (a－b)0＝1是否恒成立？为什么？ 练习5 计算 2323(1) 4； (2) 5． 22三、负整指数幂 我们规定： 1a－1＝ (a≠0) a1a－n＝n (a≠0, n?N+) a练习6 填空 (1) 8–2＝ ；(2) (0.2)－3＝ ． 练习7 式子(a－b)－4＝1 是否(a－b)4m3－323＝20 3＝22教师板书： 零指数幂 a0＝1 (a≠0)． 师：请同学们结合零指数幂的定义完成练习3． 学生解答． 教师强调练习4中，等式成立的条件，即a ≠ b． 练习5，学生可通过约分解答． 师：实数m与n的大小关系除了m＞n，m＝n还有m＜amn．当m＜n时，运算法则 n＝aam－n一定成立吗？ 学生尝试解决教师提出的问题． 教师板书：负整指数幂 1a－n＝n (a≠0, n?N+)， a并强调a的取值． 练习6由学生解答，练习7要求小组合作探究解决． 教师针对学生的解答进行点评，并强调练习7中的等式成立的条件，即a ≠ b． 师：从数的分类可知，在定义了零指数幂和负整指数幂以后，我们就把正整指数幂推广到了整数指数幂的范围． 师：正整指数幂的运算法则，对整数指数幂的运算仍然成立． 板书运算法则． am通过演示将 n 的运算归a结到am?an 中去，即 amm－nm +(–n)＝am–n． n＝a?a＝aa学生解答，练习8要求小组合作解决． 教师在讲解上述题目时，应由具体的例子入手，引出零指数幂的定义． 突破思维困境，引入零指数幂． 第2题的目的是要让学生记住 a0＝1 (a≠0) 中的a≠0这一条件． 类比零指数的引入，负整指数的引入就顺理成章了． 练习7是为了让学生注意，在负整指数幂中底数a的取值范围． 重新回顾实数的分类，展示幂指数的推广过程，帮助学生理解“把正整指数幂推广到了整数指数幂的范围”这句话． 使学生对幂的运算法则给予重新认识． 突出本节知识，突出运算法则． 恒成立？为什么？ 四、实数系 正整数 五、整数指数幂的运算法则 零 整数 m+nm n有理数a?a＝a； 负整数 分数 实数 (am)n＝amn ； 无理数(ab) m＝a mb m． 练习8 (1) (2x)–2＝ ； (2) 0.001–3＝ ； x3–2(3) (2) ＝ ； rx2(4) 2＝ ． bc页眉内容
再现每题运算过程中用到的运算律． 小 结 1．指数幂的推广 零指数幂 2．正整指数幂的运算法则对整数指数正整指数幂 幂仍然成立： 负整指数幂 (1) am?an＝am+n； 整数指数幂 (2) (am)n＝amn； (3) (ab)m＝a m b m． 标记作业． 作 业 必做题：P98，练习A 第1题， 选做题：P103，习题第1题(9)． 针对学生实际，对课后书面作业实施分层设置，安排必做习题和选做习题两层． 回顾本节主要内容，加深理简洁明了地概括解零指数和负整指数幂的概念、本节课的重要知识，牢记运算律． 使学生易于理解记忆． 4.1.1 有理指数(二)
【教学目标】
1. 了解根式的概念和性质； 理解分数指数幂的概念；掌握有理数指数幂的运算性质． 2. 会对根式、分数指数幂进行互化．培养学生的观察、分析、归纳等逻辑思维能力． 3. 培养学生用事物之间普遍联系的观点看问题． 【教学重点】
分数指数幂的概念以及分数指数幂的运算性质． 【教学难点】
对分数指数幂概念的理解． 【教学方法】
这节课主要采用问题解决教学法．
在引入分数指数幂时，先讲方根的概念，根据方根的定义，得到根式具有的性质．在利用根式的运算性质对根式的化简过程中，引导学生注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律．在对根式的性质进行练习以后，为了解决运算的合理性，引入了分数指数幂的概念，从而将指数幂推广到了有理数范围．在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，将有理指数幂推广到实数指数幂．考虑到职校学生的实际情况，并没有给出严格的推证．
【教学过程】 环节 导 入 教学内容 1．整数指数幂的概念． an＝a×a×a×…×a (n个a连乘)； a0＝1 (a≠0)； 1－an＝n (a≠0，n?N+)． a2．运算性质： am?an＝am+n； (am)n＝amn； (ab)m＝a m b m． 师生互动 设计意图 师：上节课我们把正整以旧引新指数幂推广到了整数指数提出问题，引入幂，那么我们能不能把整数本节课题． 指数幂推广到分数指数幂，复习上节进而推广到有理指数幂和所学内容． 实数指数幂呢？这节课我们就来探讨这个问题． 师：首先来复习一下上节课所学的内容． 学生回答教师提出的问题，教师及时给予评价． 页眉内容
新 课 新 课 新 课 一、根式有关概念 定义：一般地，若 xn＝a (n＞1，n?N)，则 x 叫做a 的 n 次方根． 例如： (1) 由32＝9知，3是9的二次方根(平方根)； 由(－3)2＝9知，－3也是9的二次方根(平方根)； (2) 由(－5)3＝－125知，－5是－125的三次方根(立方根)； (3) 由64＝1 296知，6是1 296 的4次方根． 有关结论： (1) 当n为奇数时：正数的n次方根为正数，负数的n次方根为负数．记作： 教师板书课题． 学生理解方根概念． 教师通过举例让学生进一步理解方根的概念． 学生在教师的引导下进一步理解根式的概念． 学生重新构建根式、根指数的概念，教师强调当ann有意义时，a叫做根式． 学生理解根式的性质，通过实例演示，将性质应用到运算之中． 教师用语言叙述根式nx＝a． 性质： (2) 当n为偶数时，正数的n次方根有两个(互为(1) 实数a的n次方根的n相反数)．记作： 次幂是它本身； (2) n为奇数时，实数a的nnx＝±a． 次幂的n次方根是a本身；(3) 负数没有偶次方根． n为偶数时，实数a的n次(4) 0的任何次方根都为0． 幂的n次方根是a的绝对值． nn当a有意义时，a叫做根式，n叫根指数． 学生认真观察． 正数a的正n次方根叫做a的n次算术根． 在教师的引导下，学生4寻找解惑途径． 3例如：2叫做2的3次算术根；－2不叫根学生在教师的引导下，式，因为它是没有意义的． 由特殊到一般，积极构建分二、根式的性质 数指数幂的概念． 师：负整数指数幂是怎nn(1) (a)＝a． 么定义的？如何来定义负5分数指数幂呢？ 335例如，(27)＝27，(－3)＝－3． 学生在教师的引导下，类比负整指数幂的定义，形n(2) 当n为奇数时，an＝a； 成负分数指数幂的概念． ?a（a≥0）n师：至此，我们把整数当n为偶数时，an＝|a| ＝? . ?－a（a＜0）指数幂推广到了有理指数3幂．有理指数幂还可以推广33例如：(－5)3＝－5，2＝2； 到实数指数幂．使学生形成4实数指数幂的概念． 52＝5，(－3)4＝|－3|＝3． 学生做练习． 观察下面的运算： 教师讲解例1第(1)题11的操作方法． 333?3(a)＝a＝a ① 学生结合教材，完成例221第(2)、(3)题，学习用计算333?3(a)＝a＝a2 ② 工具来求指数幂 ab 的值． 上面两式的运算，用到了法则 (am)n＝amn，引入方根的概念为下一步引入分数指数做基础． 使学生加深对方根概念的理解，为总 结出结论作铺垫． 由方根的概念引入其数学记法，为引入根式的概念作准备． 引入根式、根指数的概念． 将数学语言(符号)转化为文字语言，使学生加深对性质的理解． 设置障碍，使学生积极寻找解决途径，从而调动学生思维的积极性． 通过教师引导，学生找到使运算合理的途径． 引入正分数指数幂的概念． 类比负整数指数幂的定义，引入负分数指数幂的概念． 将有理指数幂推广到实数指数幂，并给出实数指数幂的运算法则． 加深对有理指数幂的理解，并使学生进页眉内容
但无法用整数指数幂来解释，但是①式的含义是a连乘3次得到a，所以a可以看作是a的3次方根；②式的含义是a连乘3次得到a2，所以a可以看作是a2的3次方根． 因此我们规定 a＝a，a＝a2， 以使运算合理． 三、分数指数幂 一般地，我们规定： a＝a (a＞0)； a＝am＝(a)m (a＞0，m，n?N+，m且 为既约分数)． nam－nmnnn1nn13323323231313一步掌握指数幂的运算法则． 使学生掌握函数型计算器的使用． 使学生进一步巩固函数计算器的使用方法． ＝1 am n (a＞0，m，n?N+，m且 为既约分数) ． n四、实数指数幂的运算法则 (1) aα?aβ＝aα+β； (2) (aα) β＝aα β； (3) (a b) α＝a α b α． 以上aα，aβ中，a＞0，b＞0，且α，β为任意实数． 练习1 8×8 ＝882335253＋25＝81＝8； 13＝(8)2＝22＝4； 361213161＋33×3 ×3＝3×3×3×39； 2132133434343(ab)＝(a)·(b)＝a2b． ＝31＋1＋1236＝32＝例1 利用函数型计算器计算(精确到0.001)： (1) 0.21.52； (2) 3.14； (3) 3.1． 例2 利用函数型计算器计算函数值． 已知 f (x)＝2.71x，求 f (－3)，f (－2)，f(－1)，f (1)，f (2)，f (3) (精确到0.001)． 请同学们结合教材在小组内合作完成． －223
中职数学基础模块上册第四章指数、对数函数教案集 - 图文
