① 中位线定理
E F
例题：已知如图：平行四边形ABCD中，BC?6，正方形
ADEF
所在平面与平面ABCD垂直，G，H分别是DF，BE的中点． （１）求证：GH∥平面CDE；
（２）若CD?2,DB?42，求四棱锥F-ABCD的体积．
_ C _ D _ _ H G_ A
_ B
练习：1、如下图所示：在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点。
求证：AC1∥平面CDB1；
D1A1DEABB1CC12. 如图，ABCD?A1B1C1D1是正四棱柱侧棱长为1，底面边长为2，E是棱BC的中点。（1）求证：BD1//平面C1DE；（2）求三棱锥D?D1BC的体积.
3、如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱
PD?底面ABCD，PD?4,DC?3，E是PC的中点。
（1）证明：PA//平面BDE；
（2）求?PAD以PA为轴旋转所围成的几何体体积。
例2、 如图, 在矩形ABCD中,AB?2BC , P,Q分别为线段AB,CD的中点, EP⊥平
面ABCD.求证: AQ∥平面CEP；（利用平行四边形）
练习：①如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，E、F分别是AB、PD的中
P点。求证：AF∥平面PCE；
GF②如图，已知P是矩形ABCD所在平面外一点，PD?平面ABCD，M，N分别
是AB，PC中点。求证：MN//平面PAD AD③ 如图，已知AB?平面ACD，DE//AB，△ACD是正三角形，AD = DE
BEC= 2AB，且F是CD的中点.⑴求证：AF//平面BCE； B ④、已知正方体ABCD-A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交C1O//面AB1D1．
E 点.求证：
③比例关系
C
A F
D
例题3、P是平行四边形ABCD平面外一点，M、N分别是PB、BC上的点，且BM?BN,
PMNC求证：MN//平面PCD(利用比例关系)
练习：如图，四边形ABCD为正方形，EA?平面ABCD，EF//AB，AB=4,AE=2,EF=1.（Ⅱ）若点M在线段AC上，且满足CM?CA,
EFAM14求证：
EM//平面FBC；
④面面平行-线面平行
例题4、如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面直，BE//CF，?BCF=?CEF=90?,AD=3,EF=2。求证：平面ABE//平面CDF
BD互相垂
C（Ⅰ）
（II）求证：AE//平面DCF；（利用面面平行-线面平行） 练习：1、如图所示，四棱锥P?ABCD中，底面ABCDA平面ABCD，PD?AB?2，E，F，G分别为PC、BDC为正方形，PD?PD、BC的F中点．
（1）求证：；PA//面EFG； （2）求三棱锥P?EFG的体积． 2、如图,在直三棱柱ABC?A1B1C1中,?ACB?90，
E,F,G分别是AA1,AC,BB1的中点，且CG?C1G.
0EC1A1B1 (Ⅰ)求证：CG//平面BEF；
3、如图所示,正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直,
EFCGABAD?CD,AB//CD,CD?2AB?2AD. 在EC上找一点M,使得BM//平面ADEF,请确
定M点的位置,并给出证明．
4、（2012山东文）如图，几何体E?ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB?CD,EC?BD.
F
E
M
D
N
A
B
C
(Ⅰ)求证：BE?DE；
(Ⅱ)若∠BCD?120?，M为线段AE的中点， 求证：DM∥平面BEC.
例题： 如图，已知四棱锥P?ABCD。 若底面ABCD为平行四 边形，E为PC的中
点，在DE上取点F，过AP和点F的平面与 平面BDE的交线为FG，求证：AP//FG。
证明：连AC与BD，设交点为O，连OE。
练习：1、如图，在四棱锥P?ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，?BAD?60?，N是PB中点，过A、N、D三点的平面交PC于M．求证：AD//MN； 2、（2012浙江高考）如图，在侧棱锥垂直底面的四棱锥ABCD-A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AD=2，BC=4,AA1=2，E是DD1的中点，F是平直线AA1的交点。（1）证明：EF∥A1D1； 3.如图，四边形ABCD是矩形，平面ABCD?平
BE?EC.
P M D N C AB=
2。
A B 面B1C1E与
面BCE，
（1） 求证：平面AEC?平面ABE；(面面垂直性质) （2） 点F在BE上，若DE//平面ACF，求
BF1的值。（线面平行的性质 ） BE2例、如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E、F、G分别是AB、AD、C1D1的中点.
求证：平面D1EF∥平面BDG.
练习：如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是BC、CC1、C1D1、A1A的中点.求证：
（1）EG∥平面BB1D1D；（2）平面BDF∥平面B1D1H.
例题：已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是C1D1和D1A1上的点，点P在正方体外，平面PEF与正方体相交于AC，求证：
EF//平面ABCD
①菱形的对角线互相垂直：
D1 A1
B1
C1
D
A
B
C
例题。已知E，F分别是正方形ABCD边AD，AB的
G中点，EF证：EF⊥
DEMAFBC交AC于M，GC垂直于ABCD所在平面。 求平面GMC．
练习：如图ABCD-A1B1C1D1是底面为正方形的长方
体，求
D
C B 证：（1）BD?平面ACC1A （2）BD?AC1
②等腰三角形底边的中线垂直底边
例1、 如图，在三棱锥P?ABC中，AC?BC?2，?ACB?90o，
A P D A B B C
AP?BP?AB，PC?AC．求证：PC?AB；
A C
练习：1、在三棱锥A-BCD中，AB=AC,BD=DC,求证：BC?AD
③圆的直径所对的圆周角为直角
P D C 例题3、如图AB是圆O的直径，C是圆周上异于A、B的任意一点，PA?A B 平面ABC，（1）图中共有多少个直角三角形？（2）若AH?PC,且AH与PC交于H，求证：AH?平面PBC. ④利用勾股定理
P H O B
C1B1例4、在长方体ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正A 方形，侧棱AA1?2，E是侧棱BB1的中点。求证：AE?平面A1D1E； DC 1证明：?ABCD?A1B1C1D1为长方体，
练习：如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，PA?CD,PA?1,PD?2,求证：（1）PA?平面ABCD
A1（2）求四棱锥P-ABCD的体积.
⑤间接法，用线面垂直的性质定理（l?b,b???l?b）
例题：如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，
pP AEDCA DBD C ?DAB?60?，AB?2AD,PD?底面ABCD，证明：PA?BD; 练习1：如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC=3， BC=4，AB=5，
AA1?4，点D是AB的中点。（Ⅰ）求证：AC?BC1；
ACB 2aaB 练习2： 如图，四边形ABCD为矩形，BC?平面ABE，F为CE上的点，且BF?平
面ACE. 求证：AE?BE；
证明：因为BC?平面ABE，AE?平面ABE，
D C
例1如图，AB是⊙O的直径，PA垂直⊙O所在的平面，C是圆上不同于A，B的任意F 一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.
A B
A1B练习1：如图，棱柱ABC?A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C?E
2、如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，E、F分别是A1B、A1C的中点，点D在B1C1上，A1D?B1C。
求证：（1）EF∥平面ABC；（2）平面A1FD?平面BB1C1C.
3、如图， ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD，BK⊥SC于K，连结DK， 求证（1）平面SBC⊥平面KBD
s K C
A
例1：如图，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD, O为AD中点.，求证:PO⊥平面ABCD；
例2：如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是?DAB?600且边长为a的菱形，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD垂直于底面ABCD． （1）若G为AD的中点，求证：BG?平面PAD； （2）求证：AD?PB；
练习：1、如图AB是圆O的直径，C是圆周上异于A、B的任意一
点，PA?平面ABC，（1）图中共有多少个直角三角形？（2）若AH?PC,且AH
D 与PC交于H，求证：平面PAC?平面PBC.(3) AH? 平面PBC
O
A
C
B
H PE
立体几何证明方法汇总
