专题17 反比例函数综合题
考点分析
【例1】（2018·浙江中考真题）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC，∠ABC=90°，顶点A在第一象限，B，C在x轴的正半轴上（C在B的右侧），BC=2，AB=23，△ADC与△ABC关于AC所在的直线对称．
（1）当OB=2时，求点D的坐标；
（2）若点A和点D在同一个反比例函数的图象上，求OB的长；
（3）如图2，将第（2）题中的四边形ABCD向右平移，记平移后的四边形为A1B1C1D1，过点D1的反比例函数y=
k（k≠0）的图象与BA的延长线交于点P．问：在平移过程中，是否存在这样的k，使得以点xP，A1，D为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的k的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）点D坐标为（5，3）；（2）OB=3；（3）k=123． 【解析】
（1）如图1中，作DE⊥x轴于E．
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∵∠ABC=90°， ∴tan∠ACB=
ABBC?3， ∴∠ACB=60°，
根据对称性可知：DC=BC=2，∠ACD=∠ACB=60°∴∠DCE=60°，
∴∠CDE=90°-60°=30°， ∴CE=1，DE=3， ∴OE=OB+BC+CE=5， ∴点D坐标为（5，3）．
（2）设OB=a，则点A的坐标（a，23）， 由题意CE=1．DE=3，可得D（3+a，3）， ∵点A、D在同一反比例函数图象上， ∴23a=3（3+a）， ∴a=3， ∴OB=3．
（3）存在．理由如下：
①如图2中，当∠PA1D=90°时．
2
，
∵AD∥PA1，
∴∠ADA1=180°-∠PA1D=90°，
在Rt△ADA1中，∵∠DAA1=30°，AD=23， ∴AA1=
ADcos30?=4，
在Rt△APA1中，∵∠APA1=60°，
∴PA=
433， ∴PB=1033， 设P（m，1033），则D1（m+7，3）， ∵P、A1在同一反比例函数图象上，
∴1033m=3（m+7）， 解得m=3，
∴P（3，1033）， ∴k=103．
②如图3中，当∠PDA1=90°时．
3
∵∠PAK=∠KDA1=90°，∠AKP=∠DKA1， ∴△AKP∽△DKA1，
∴
AKPK?． KDKA1∴
PKKA1?， AKDK∵∠AKD=∠PKA1， ∴△KAD∽△KPA1，
∴∠KPA1=∠KAD=30°，∠ADK=∠KA1P=30°， ∴∠APD=∠ADP=30°， ∴AP=AD=23，AA1=6，
设P（m，43），则D1（m+9，3）， ∵P、A1在同一反比例函数图象上， ∴43m=3（m+9）， 解得m=3， ∴P（3，43）， ∴k=123．
点睛：本题考查反比例函数综合题、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、解直角三角形、待定系数
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法等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会了可以参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
k在第一象限图象上一点，连接OA，【例2】 （2019·山东中考模拟）如图，A（4，3）是反比例函数y=x过A作AB∥x轴，截取AB=OA（B在A右侧），连接OB，交反比例函数y=kx的图象于点P．
（1）求反比例函数y=kx的表达式；
（2）求点B的坐标； （3）求△OAP的面积．
【答案】（1）反比例函数解析式为y=12x；（2）点B的坐标为（9，3）；（3）△OAP的面积=5． 【解析】
（1）将点A（4，3）代入y=kx，得：k=12， 则反比例函数解析式为y=
12x； （2）如图，过点A作AC⊥x轴于点C，
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2020年中考数学基础题型提分讲练专题17反比例函数综合题含解析
