常微分方程初值问题数值解法的比较
数值计算实践—课程设计报告
常微分方程初值问题数值解法的课题名称 比较 班姓名 完成时间 2013-1-17 学号 成绩 级 一. 实验目的及内容 1实验目的：（1） 了解常微分方程初值问题的理论背景以及初值问题稳定性、收敛性的研究； （2） （3） 熟练掌握欧拉法、改进欧拉法、龙格-库塔法以及截断误差分析； 比较欧拉法、改进欧拉法及龙格-库塔法，能够选择合适的方法进行问题的研究计算； ?y'?y2实验内容：求微分方程?(0?x?1)（欧拉法求解） ?y(0)?1?'2x?y?y?求微分方程?y(0?x?1)（改进欧拉法求解） ?y(0)?1??y'?1?log(x?1)求微分方程?(0?x?1)（龙格-库塔求解） ?y(0)?1根据实验的结果进行分析，了解一般方法的的优缺点，稳定性，收敛性以及截断误差的分析，针对相应问题拿出有效方法得出最优的结果。 二．相关背景知识介绍以及初值问题稳定性的研究： 在科学及工程问题中，常微分方程表述物理量的变化规律，应用非常广泛，比如，天体运动的轨迹，机器人控制，化学反应过程的描述和控制以及电路瞬态过程分析等。这些问题中要求解随时间变化的物理量，即位置函数y(t),t表示时间，而微分方程描述了未知函数及它的一阶或高阶导数之间的关系。 考虑一阶常微分方程的初值问题 y'?f(x,y),x?[x0,b],y(x0)?y0，如果存在实数L?0,使得|f(x,y1)|?f(x,y2)?L|y1?y2|,?y1,y2?R,则称f关于y满足利普希茨条件，L称为利普希茨常数。 '??y?f(t,y),t?t0 对于常微分方程初值问题?，考虑初值y0的扰动是问题的解??y(t0)?y0y(t)发生偏差的情形。若t??时y(t)的偏差被控制在有界范围内，则称该初值问题是稳定的，否则该初值问题不稳定的。 特别地，若t??时y(t)的偏差收敛于零，则称该初值问题是渐进稳定的。 对于初值问题稳定性的研究，易知其准确解为y(t)?y0e?(t?t)，假定初值经过扰动0后变为y0??y0，对于扰动后的解为y(t)?(y0??y0)e?(t?t)因此带来的扰动误差为0^^?y(t)??y0e?(t?t0)，因此考虑t??时?y(t)的值，它取决于?。易知，若 ??0，则原问题是稳定的；若 ??0，则原问题是不稳定的；若 ??0，则原问题是渐进稳定的。 实际遇到的大多数常微分方程初值问题都是稳定的，因此在后面的讨论数值解法时这常常是默认条件。 1． 欧拉法： 依据：积分曲线上一点(x,y)的切线斜率等于函数值。 方法：推进法，初始点p0(x0,y0)出发，依照方向场在改点的方向推进到x1,x2,...,xn 向前欧拉法的得到: (1)将'y(x)在?xn处泰勒展开y(xn?1)?y(xn?h)?y(xn)?y(xn)h?y''(xn)h22!y'''(xn)h33!?...取h的线性部分，得 yn?1?yn?hf(xn,yn) （2）将初值问题中得导数用向前差商来代替有y'?y(xn?1)?y(xn)y(xn?1)?y(xn)??f(xn,yn) ，因此yn?1?yn?hf(xn,yn) xn?1?xnh（3）将两边同时对xn?1xn?1'x的区间[xn,xn?1]上积分xn?1?1ydx?xn?f(xn,yn)dx,即y(xn?xn)?y(xn)?f(xn,y(x))dx 对右端用左矩形公式得?xnyn?1?yn?hf(xn,yn)，此方法称向前欧拉法，也叫显示欧拉法。 （4）对右端用右矩形公式得yn?1?yn?hf(xn?1,yn?1)，也叫隐式欧拉法。 误差分析：1.称y(xn?1)?yn?1为计算yn?1时的局部截断误差； 2.如果数值方法的局部截断误差为O(hp?1)，那么称这种数值方法的阶数是p，其实p为非负整数。通常情况下，步长h越小，p越高，则局部截断误差越小，计算精 y(x)在xn初'泰勒y''(xn)h22!?展y'''(xn)h33!?...开有y(xn?1)?y(xn?h)?y(xn)?y(xn)h??yn?hf(xn,yn)?O(h2) 则有y(xn?1)?yn?1?O(h2)可见欧拉方法是一阶方法，精度不是很高。
常微分方程初值问题数值解法的比较
