265所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为. 3920．解 (1)散点图如图，
用y＝me－x＋n作为清洗x次后1千克该蔬菜残留的农药量的回归方程类型．
^
^
^
? ?ωi－ω??yi－y?
(2)由题意知m＝
^
5
i＝1
? ?ωi－ω?2
i＝1
故所求的回归方程为y＝10×e－x＋0.8. (3)列表如下：
yi－yi yi－y 所以?
i＝1
5
^^
5
^^0.9
＝＝10，n＝y－mω＝2－10×0.12＝0.8， 0.09
0 2.5 0 0.2 0.1 －0.6 0.3 －0.7 －0.3 －1.4 (yi－yi)2＝0.19，
^
i＝1
? (yi－y)2＝9.1，R2＝1－9.1≈0.979>0.95，
5
0.19
所以回归模拟的拟合效果非常好． xy
21．解 (1)由直线l：－＝1，
ab∴3＝2
|ab|
，
a2＋b2
即4a2b2＝3a2＋3b2，①
6c222
又由e＝，得2＝，即c2＝a2，
3a331
又∵a2＝b2＋c2，∴b2＝a2，②
34
将②代入①得a4＝4a2，
3∴a2＝3，b2＝1，c2＝2， x22
∴所求椭圆方程为＋y＝1.
3
(2)①当直线m的斜率不存在时，直线m方程为x＝0， 则直线m与椭圆的交点为(0，±1)，
又∵E(－1,0)，∴∠CED＝90°，即以CD为直径的圆过点E； ②当直线m的斜率存在时，设直线m方程为y＝kx＋2， C(x1，y1)，D(x2，y2)，
??y＝kx＋2，由?x2
2
??3＋y＝1
得(1＋3k2)x2＋12kx＋9＝0， 由
Δ＝144k2－4×9(1＋3k2)＝36k2－36>0，得
9
k>1或k<－1，∴x1＋x2＝，x， 1x2＝
1＋3k21＋3k2
－12k
∴y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4， →→
∵以CD为直径的圆过点E，∴EC⊥ED，即EC·ED＝0，
→→
由EC＝(x1＋1，y1)，ED＝(x2＋1，y2)，得(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝0， ∴(1＋k2)x1x2＋(2k＋1)(x1＋x2)＋5＝0，
9?1＋k2?－12k7∴＋(2k＋1)·＋5＝0，解得k＝>1，
61＋3k21＋3k27
即直线m：y＝x＋2；
6
7
综上所述，当以CD为直径的圆过定点E时，直线m的方程为x＝0或y＝x＋2.
6
11
22．(1)解 当a＝时，f′(x)＝－cos x，
22π
由f′(x)＝0，得x＝，
3π
0，?时，f′(x)<0； 所以x∈??3?π?
x∈??3，π?时，f′(x)>0，
ππ
0，?，单调递增区间为?，π?， 因此f(x)的单调递减区间为??3??3?π?π?
所以f(x)的最大值为max{f(0)，f(π)}＝max?－1，2－1?＝－1.
??22
(2)证明 先证x－sin x＋cos x－1≤0，
π2
令g(x)＝x－sin x＋cos x－1，
π2
则g′(x)＝－cos x－sin x
ππ2
x＋?， ＝－2sin??4?π
π2
x＋?，x∈[0，π]与y＝的图象易知， 由y＝2sin??4?π存在x0∈[0，π]，使得g′(x0)＝0，
故x∈(0，x0)时，g′(x)<0；x∈(x0，π)时，g′(x)>0， 所以g(x)的单调递减区间为(0，x0)，单调递增区间为(x0，π)， 所以g(x)的最大值为max{g(0)，g(π)}，而g(0)＝0，g(π)＝0，
222
又由a≤，x≥0，所以ax－sin x＋1＋cos x≤x－sin x－1＋cos x≤0，当且仅当a＝，x＝0
πππ或x＝π时，等号成立，即f(x)＋cos x≤0.
2021高考数学新高考版一轮习题：专题9 阶段滚动检测(六) (含解析)
