教学设计
一、内容和内容解析 1．内容
在平面直角坐标系中，将一个图形旋转到某特定位置时，求出图形中关键点的坐标． 2．内容解析
本节课内容属于《义务教育数学课程标准（2011年版）》中“图形与几何”领域．是学习了《旋转》这章之后的一节习题课．本节课将图形的旋转与平面直角坐标系紧密结合，其核心问题是运用坐标描述旋转后基本图形（三角形、正方形）中关键点的位置．本节课围绕着从旋转后的复杂图形中抽象出基本图形这条主线，以问题串引导学习的方式，借助几何直观进行分析、猜想和计算，突出了图形的性质、图形的变化、图形与坐标的和谐统一．
问题1以学生熟悉的风车为背景引入课题，首先在生活情境中抽象出几何图形，再从复杂的几何图形中分离出“基本图形”，应用旋转的三要素描述图形的形成过程．问题2将问题1中的图形放到坐标系中，用坐标描述基本图形旋转后关键点的位置．求坐标的过程实质是先利用图形（等腰直角三角形）的性质求线段的长，再把线段转化为坐标，将“数”与“形”紧密结合．问题3以平面直角坐标系为背景，以含30°角的直角三角形旋转变换的内容为载体，以问题串的形式引发学生的思考和探究，把线段、面积、坐标的计算“图形化”，找到基本图形（等边三角形）的特征成为解决问题的突破口．特别是第（2）问，要让图形动起来，借助几何直观想象图形旋转的过程，考虑到旋转角为锐角和钝角两种情况，最后再借形（含30°角的直角三角形）算数（点的坐标）．问题4将正方形旋转到某一特定位置，借助前面积累的方法和经验，强化点的“坐标”与“位置”的对应关系，给学生创设了从数（点坐标）的特征寻求形（图形）的特性再回到数（求点坐标）的计算的探索性问题．问题4中旋转角度发生变化，但正方形的边长没有变化，在“变”中寻求“不变”量，挖掘出隐含条件，寻找到含30°角的直角三角形成为解决问题的关键．这四个问题将旋转与坐标完美结合，“入手”容易，注重对基础知识、基本技能、基本活动经验的考查，其“出口”的思维含量较高，注重对学生数学思想方法的培养，突出体现了 “定性”分析与“定量”计算相结合的研究几何问题的一般思考方法.
用坐标描述图形的旋转，不仅发展学生的几何直观能力，也培养学生的合情推理能力．本节课使用的重要方法是：借助图形进行数学思考和想象（理解问题、提出问题、分析问题、解决问题、描述问题），观察图形旋转的过程，猜测出一些可能的结论和计算思路．问题3
和问题4都体现“探索发现”与“合情推理”的有机结合．本节课借助几何直观，应用旋转的性质，定性定量地研究几何问题，感悟数形结合和转化的数学思想，突出“图形变换是研究几何问题的工具和方法”的重要意义．
基于以上分析，可以确定本节课的教学重点：借助几何直观，应用图形旋转的性质，求旋转后图形中关键点的坐标．
二、目标和目标解析 1．目标
（1）从问题情境中抽象出几何图形，在平面直角坐标系中，能准确地计算出旋转后图形中关键点的坐标，在分析图形旋转的过程中，进一步加深对旋转性质的理解和应用．
（2）培养画图、识图的能力，能画出旋转后的图形，能从复杂图形中识别出基本图形．在经历动手操作、观察、猜想、画图、计算等数学活动，经历借助图形思考问题的过程，初步建立几何直观，发展探索发现与合情推理能力，提高运算能力.
（3）感悟“数形结合”、“转化”的数学思想．能应用数形结合和转化思想，把求关键点的坐标问题转化为求直角三角形中直角边的长度问题．培养“定性”分析和“定量”计算相结合的研究几何问题的一般思考方法．
2．目标解析
达成目标（1）的标志是：问题1从学生熟悉的风车图案中抽象出几何图形．抽象之后，将图形放入坐标系内，将图形的旋转变换与平面直角坐标系结合，用坐标去描述图形旋转后关键点的位置．问题2、3、4以问题串的形式给出，最后都落在求旋转后关键点的坐标问题．在求坐标的过程中，应用旋转角的定义求出有关角度的大小，应用旋转的性质求出有关线段的长度，进一步加深对旋转性质的理解和应用，为求点的坐标做好铺垫．
达成目标（2）的标志是：在问题1中，学生能从风车图形中找到基本图形（四边形）；问题2中学生能发现隐含的等腰直角三角形；问题3和问题4中，图形旋转后生成了新的点、线段和三角形，学生能识别出等边三角形和含30°的直角三角形．能从复杂几何图形中分解出基本图形，识别出特殊三角形成为解决问题的突破口．问题3的第（2）问和问题4中都没有给出旋转后图形的位置，需要学生想象图形旋转的过程，自己画出图形旋转后的位置．学生可以动手操作，旋转准备好的三角形和正方形纸板，预测图形旋转后的位置．教师演示几何画板，帮助学生直观地感受图形旋转的过程，确定并画出旋转后的图形的位置．学生经历动手操作（旋转三角形、正方形纸板）→观察（因旋转而生成的点的位置变化）→猜想（旋转后图形的位置）→画图（画出旋转后的三角形、正方形以及所求点的位置）→计算
（点的坐标）的过程，经历借助图形思考问题的过程，初步建立几何直观，发展探索发现与合情推理能力，提高运算能力.
达成目标（3）的标志是：问题3的第（2）问和问题4都是求点的坐标问题．但这两道题入手时，没有直接计算，而是通过分析已知条件，先探求图中因旋转而生成的新的特殊图形的性质，进行定性分析：问题3学生能根据已知发现图中隐含的等边三角形?COE，问题4学生根据已知发现图中隐藏的等腰直角三角形和含30°的直角三角形．然后再定量计算：过所求点向坐标轴作垂线段，把求点的坐标问题转化成求直角三角形中直角边的问题．问题2、3、4都使用“定性”分析与“定量”计算相结合的研究方法，让学生感悟研究几何问题的一般思考方法．在定量计算的过程中，学生应用旋转的性质、正方形的性质、含30?的直角三角形中的边角关系、勾股定理等知识，借形算数(点的横、纵坐标) ，最后又用数（点的坐标）描述形在坐标系中的位置，突出了坐标是沟通“数”与“形”的纽带，体现数形结合思想．
三、教学问题诊断分析
九年级的学生已经学习了旋转这章，已经掌握旋转中心、旋转方向、旋转角三个基本概念，已经掌握旋转的定义和性质，中心对称、中心对称图形的定义和性质．学生能熟练找到旋转前后图形之间的全等关系．另一方面，学生从七年级第二学期开始学习平面直角坐标系，已经熟悉如何求某点的坐标，会过这个点向坐标轴作垂线段，将求坐标的问题转化成求线段的长．但是将图形的旋转与平面直角坐标系相结合，运用坐标描述图形的位置和运动，学生理解不深刻．在图形旋转的过程中，会生成新的点、线段、角和三角形，使得原图形变得复杂．学生在学习的过程中会遇到以下几个困难：（1）学生想象不出旋转后的图形会落在什么位置，不能画出示意图；（2）学生只想到旋转角为锐角的情况，或旋转角为某一个特定角度的情况，而忽略了图形旋转的全过程，造成考虑问题不全面，最后出现少解的情况；（3）在旋转过程中出现的复杂图形中，不能分离出基本图形、特殊图形（直角三角形、等边三角形等），不能找到解题的突破口；（4）在求坐标的过程中，把线段的长当成坐标使用，忽略了符号问题，出现计算错误；（5）有的学生没有借助几何图形的性质，忽略了“形”的作用，而是选择只用“数”的方法进行计算，没有应用数形结合思想，使得解题过程比较复杂、繁琐．
基于以上分析，本节课教学难点：借助几何直观预测并画出旋转后的图形，应用图形旋转的性质求关键点的坐标．
四、教学支持条件分析
根据本节课教材内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，借助信息技术工具，以几何画板软件为平台，展示三角形旋转的过程．通过动态演示，让学生直观地感受到图形旋转过程中所生成的点、线段等图形的变化规律，准确地找到符合题意的旋转后图形的位置，有效地突破难点，为下一步求出点的坐标做好准备铺垫工作．
五、教学过程设计 （一）创设情境，基础训练
问题1：图中风车图案可以看作由哪个基本图形，经过什么样的旋转而得到的？
BFMA
PGNOQE
C【师生活动】学生观察图形并回答，教师给出积极地评价．
HD【设计意图】从常见的风车图形入手，一方面使学生体会到我们数学课研究的几何图形来源于生活，另一方面吸引学生的注意力，激起他们的兴趣，自然地引入到本节课的探索和学习中．从复杂图形中找到基本图形，利用旋转的三要素来描述图形旋转的过程，既复习旋转的定义和性质，也为后面问题的学习做好铺垫．
问题2：将问题1中的风车图案放入坐标系中，已知OE=AE=2，求点A，B，E，
G，M，Q的坐标．
BFyAM
CPHGNOQExDA( ， ) B( ， ) E( ， ) G( ， ) M( ， ) Q ( ， )
【追问1】求哪个点的坐标最容易？
【追问2】哪个点的坐标与已经求出的点的坐标有特殊关系？有什么特殊关系？ 【追问3】如何求点M的坐标？
【师生活动】学生先独立思考，然后分组讨论．请学生说出分析问题的思路和结果，如果回答过程中有问题，教师给出及时的指导．
【设计意图】问题2应用旋转的性质找到线段之间的等量关系，进一步加深对旋转性质的理解和应用．根据OE=AE=2可以判断?AOE?45?，进而发现图形中隐含的等腰直角三角形．求点的坐标实质转化成求其所对应的直角三角形的直角边长，在线段的长与坐标的转化过程中，要特别注意符号的问题：线段的长都为正数，但坐标有正、有负．求点的坐标时经常用到对称性，找到两点之间关于坐标轴对称或原点对称这一特征可以更加巧妙地解决问题．
回顾知识点：
1.旋转的三要素 、 、 ； 2.旋转的性质：
（1）对应点到旋转中心的距离__________；
（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于_________； （3）旋转前、后的图形_________．
3.中心对称的性质：关于中心对称的两个图形是______，对称点所连线段都经过______，而且____________．
4.点P(x,y)关于原点对称的点P'的坐标为_________．
【师生活动】学生回忆并回答，如果有语言表达不准确的地方，师生可共同完成． 【设计意图】这个环节的设计，将所学知识点融入到问题中，以问题引出复习，在应用中巩固新知．学生在解决问题的过程中记忆、领悟，既达到对本章知识复习巩固的作用，又达到对重要思想方法的总结归纳、深化理解的作用．
（二）协作探究，解决问题
问题3：如图，平面直角坐标系中，两个全等的直角三角形的直角顶点及一条直角边重合，点A在第二象限内，点O是坐标原点，点B，点C在x轴的负半轴上，∠BAC=∠OAC =30°，OA=4．将图（1）中的△ACB绕点C顺时针方向旋转得到△A1CB1， 其中直线A1C与直线AO交于点E．
（1）将图（1）中的△ACB绕点C顺时针方向旋转30°时， ①△COE是 三角形，
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