②线段CE= ，△COE的面积为 ； ③点E的坐标为 ．
（2）将图（1）中的△ACB绕点C顺时针方向旋转（旋转角为a，0°＜a＜150°），当△COE的面积为
3时，求点E的坐标． 4yyAGB1FExxA1AyABCOxCOBCO图（1） （备用图）
【追问1】已知中给出两个全等的直角三角形是哪两个三角形？它们有什么特性？你能说出三角形中各角的度数和各边的长度吗？
【追问2】第（1）问中已知条件给出旋转角为30°，你能找到哪个角是旋转角吗？ 【追问3】?OCE等于多少度？△COE具有什么特殊性质？ 【追问4】线段CE的长度是多少？ 【追问5】如何求△COE的面积？ 【追问6】如何求点E的坐标？
【师生活动】教师将题中的第（1）问分解，以问题串的形式给出，引导学生进行思考，师生共同协作探究．第（2）问学生先独立思考，然后再分组讨论，生生协作探究．学生们利用提前准备好的三角形纸板动手操作，将三角形纸板进行旋转，直观地感受图形旋转的全过程，预测旋转后图形的位置，在备用图中动手画出符合题意的图形．小组代表发言，说出组内的讨论结果．教师应用几何画板展示三角形旋转的全过程，让学生直观地感受到图形的运动所带来的点E坐标的变化．最后教师给出规范的板书，师生共同完成此题．
【设计意图】问题3用问题串的形式呈现，从观察图形的特性入手，然后再计算点的坐标，突出体现了先“定性”分析，再“定量”计算的研究几何问题的一般思考方法.问题3利用旋转的性质找到变化过程中的不变量，再结合基本图形进行线段和角度的计算，最后将线段的长转化为坐标，感悟“数形结合”、“转化”的数学思想．在解题的过程中，学生想象
不到图形旋转后的位置，在画出图形这个环节遇到困难，教师使用几何画板动态演示，借助几何直观可以帮助学生有效地突破这一难点，培养画图和识图的能力．在三角形旋转的过程中，学生抓住基本图形的特征，在变化中寻找的不变量，在计算线段长度和坐标的过程中，提高了计算能力．经历同学之间协作探究，归纳总结等活动使学生对“用坐标描述图形的旋转”由感性认识上升到理性思考．
（三）巩固训练，能力提升
问题4：在平面直角坐标系中，O为原点，点E(?1，0)，点F(0，1)，若正方形OEDF绕点O顺时针旋转，得正方形OE?D?F?，记旋转角为?．
（1）当??45?时，求点D'的坐标；（2）当??60?时，求点D'的坐标．
【师生活动】学生分组讨论，学生利用提前准备好的正方形纸板动手操作，将正方形纸板进行旋转，直观地感受图形的旋转，尝试画出图形．利用前面3个问题积累的思考问题和解题经验，学生可以协作完成此题，并请学生代表上台讲解，并且展示解题步骤．第1问先确定D'旋转后的位置（y轴正半轴），再计算OD'长度，求得点D'坐标为(0,2)．第2问的方法1：如图（1）过点D'作D'M⊥x轴于点M，过点F'作F'N⊥x轴于点N，过点F'作F'G⊥D'M于点G，可以借助于含30°角的直角三角形?D'GF'和?ONF'解得D'M?D'G?GM?EOxEOxDFDFyy3?13?1，OM?ON?MN?，求得点D'坐标为22(3?13?1,)．学生代表在讲述过程中如果有表达不准确的地方，教师给予及时的帮助22和鼓励．
EO3-12yyD'1D'1DE'FG3212DE'1F3+12F'123F'xM12NxQEOM3+32-2=3-12 图（1） 图（2） 第2问的方法2：如图（2）过点D'作D'M⊥x轴于点M，延长D'E'交x轴于点Q，通过已知可以判断?OE'Q和?D'MQ都是含30°角的直角三角形，根据边角关系和勾股
定理可以解得D'M?13?13?1D'Q?，OM?QM?OQ?，求得点D'坐标为222(3?13?1,)．学生代表在讲述过程中如果有表达不准确的地方，教师给予及时的帮助22和鼓励．如果没有学生用这种方法，教师可以展示方法2，开阔学生的思路，帮助他们积累更多的解题经验．
【设计意图】本题以平面直角坐标系为背景，以旋转变化的内容为载体，给学生创设了从数（点坐标）的特征寻求形（图形）的特性再回到求点坐标的探索性问题．问题4中求点
D'的坐标，延续了前面3个问题中积累的方法和经验，起到了检验学生是否已经掌握了用
旋转的性质求点的坐标的基本方法和基本技能．第（1）问给出旋转角为45?的特殊情形，分两步解答：先根据正方形对角线与边长之间的夹角为45?这一特性，确定点D旋转后的位置正好落在y轴正半轴上，再根据勾股定理计算线段OD的长度，再利用旋转不变性求出线段OD'的长度，求出点D'的坐标．第（2）问中旋转角度发生变化，但正方形的边长没有发生变化，可以确定D'F'和OF'的长度为1．通过分析可以发现?D'GF'和?ONF'是两个全等的含30°角的直角三角形，通过代数运算可以解得线段D'M和OM的长度，突出体现了先“定性”分析，再“定量”计算的研究几何问题的一般思考方法.
（四）课堂小结，自我完善
1.在平面直角坐标系中，一个图形旋转到某特定位置时，如何求出图形上关键点的坐标？应注意的问题是什么？
2.通过本节课的学习，你学到了哪些解决数学问题的方法？
【师生活动】学生谈本节课的学习感受，师生共同梳理、概括本节课主要的学习内容，并揭示蕴涵的数学思想方法．
【设计意图】教师引导学生归纳本节课的知识要点和思想方法，使学生对“用坐标描述图形的旋转”有一个较为整体、全面认识，同时培养学生养成良好的学习习惯．
y（五）布置作业
A必做作业：
1.（基础达标）如图，阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称 的图形又是关于坐标原点O成中心对称的图形．若点A的坐标是（1，3）， 则点M的坐标是______点N的坐标是______．
M NOx【说明】本题为必做作业，选自教师用书章节检测，可以帮助落实本节课的教学重点（利用旋转的性质或对称性求关键点的坐标）．
2.（反思提升）在平面直角坐标系中，O为原点，点A(?2，0)，点B(0，2)，点E，点F分别为OA，OB的中点．若正方形OEDF绕点O顺时针旋转，得正方形OE?D?F?，记旋转角为?．
（Ⅰ）如图①，当??90?时，求AE?，BF?的长；
（Ⅱ）如图②，当??135?时，求证AE??BF?，且AE??BF?；
（Ⅲ）当??60?时，若直线AE?与直线BF?相交于点P（此时点D'与点P重合），求点P的坐标．
yBDF(E?)yBD?xDFE?D?xF?
AEO图①
F?AEO图②
【说明】本题为必做作业，改编于2014年天津中考第24题，也是本节课问题4的变形和延伸，可以延续课上总结的思想方法和解题经验进行反思提升．
选做作业：
3.（综合应用）如图，已知正方形OABC在直角坐标系xOy中，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点O在坐标原点．等腰直角三角板OEF的直角顶点O在原点，E，F分别在OA、OC上，且OA=4，OE=2．将三角板OEF绕O点逆时针旋转至OE1F1的位置，连接CF1，AE1．
（1）求证：△OAE1≌△OCF1；
（2）若三角板OEF绕O点逆时针旋转一周，是否存在某一位置， 使得OE1∥C F1？若存在，请求出此时点E1的坐标；若不存在，请说明理由．
【说明】本题为选做作业，学生可以利用本节课学习到的知识和方法进行自主探究，为学有余力的学生提供更多的思考空间．
【设计意图】课后作业分为必做和选做作业，为不同层次的学生提供不同的需求．让学生借助课上所学习到的思想方法解决同类问题，会用坐标描述图形的旋转，将课上的学习成果延续到课下.
六、目标检测设计
1.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2，3)，将线段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段OA'，则点A'的坐标是__________.若将OA绕原点O逆时针旋转180°得到OA''，则点A''的坐标是__________.
2.如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，Rt△ABC的三个顶点A（－2，2），
B（0，5），C（0，2）. 将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，得到△A1B1C，请画出△A1B1C的图形.
第2题
第3题
A C O yCBFF1E1OEAxy B x
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