?x2?ax?3?2a,x?0??3?24．（1）f?x???0,x?0；（2）?0,?
?2???x2?ax?3?2a,x?0?【解析】 【分析】
（1）由奇函数的定义可求得解析式；
（2）由分段函数解析式知，函数在R上单调，则为单调增函数，结合二次函数对称轴和最值可得参数范围．即x?0时要是增函数，且端点处函数值不小于0. 【详解】
解：（1）因为函数f?x?是定义在R上的奇函数，所以f?0??0，
当x?0时，?x?0，则f??x????x??a??x??3?2a?x?ax?3?2a??f?x?，
22所以f?x???x?ax?3?2a?x?0?，
2?x2?ax?3?2a,x?0?. 所以f?x???0,x?0??x2?ax?3?2a,x?0?（2）若f?x?是R上的单调函数，且f?0??0，
?a???0则实数a满足?2，
??3?2a?0解得0?a?3， 2?3???故实数a的取值范围是?0,?. 2【点睛】
本题考查函数的奇偶性与单调性，分段函数在整个定义域上单调，则每一段的单调性相同，相邻端点处函数值满足相应的不等关系． 25．（1）47；（2）存在，??3 【解析】 【分析】
（1）由指数幂的运算求解即可.
（2）由函数fk(x)的性质可将问题转化为cos2x?5?2?sinx对任意的x??0,立，分离变量后利用均值不等式求最值即可得解. 【详解】
??1?2解：（1）由已知f1???a?a2?3，
?2?11?2??恒成?3??1???1??a2?a2??a?a?1?2?9，?a?a?1?7， ??2??a?a?1??a2?a?2?2?49，
2?a2?a?2?47，
2?2即f1(2)?a?a?47.
（2）若fk(x)为定义在R上的奇函数， 则fk(0)?1?k?0，解得k??1，
Q0?a?1，?fk(x)?ax?a?x，在R上为减函数，
则fk(cos2x)?fk(2?sinx?5)?0，
可化为fk(cos2x)??fk(2?sinx?5)?fk(5?2?sinx)， 即cos2x?5?2?sinx对任意的x??0,?2??恒成立， ?3???2??5?cos2x2sin2x?42x?0,?恒成立， 即??，对任意的??sinx???3?2sinx2sinxsinx令t?sinx,t?[0,1]，则y?t?当t?1时，y取最小值为3， 所以??3. 【点睛】
本题考查了不等式恒成立问题，重点考查了均值不等式，属中档题. 26．（1）证明见解析（2）?4?a?4 【解析】 【分析】
（1）先由函数f(x)为奇函数，可得m?1，再利用定义法证明函数的单调性即可； （2）结合函数的性质可将问题转化为sin2x?asinx?3?0在R上恒成立，再利用二次不等式恒成立问题求解即可. 【详解】
2为减函数， t3x?1解：（1）∵函数f(x)?是定义域为R的奇函数， xm?3?13?x?13x?13x?13x?1?f(?x)??f(x)?，?????xxxxm?3?1m?3?1m?3m?3?1?(a?1)?3x?1??0，
等式(m?1)3?1?0对于任意的x?R均恒成立，得m?1，
?x?3x?1则f(x)?x，
3?1即f(x)?1?2， 3x?1设x1,x2为任意两个实数，且x1?x2，
x1x223?3??，22??f?x1??f?x2???x1???x2? ?3?1?3?1??3x1?1??3x2?1?因为x1?x2，则3x1?3x2，
所以f?x1??f?x2??0，即f?x1??f?x2?， 因此函数f(x)在R上是增函数; （2）由不等式fcosx?asinx?3??2?1对任意的x?R恒成立， 22则fcosx?asinx?3?f(1).由（1）知，函数f(x)在R上是增函数，
??则cos2x?asinx?3?1，即sin2x?asinx?3?0在R上恒成立.令sinx?t，
a?a2?t?[?1,1]，则g(t)?t?at?3??t???3??0在[?1,1]上恒成立.
4?2?22a?1时，即a??2，可知g(t)min?g(1)?4?a?0，即a??4， 2所以?4?a??2；
①当?a2a?a??0. ②当?1???1时，即?2?a?2，可知g(t)min?g????3?242??即?23?a?23，所以?2?a?2； ③当?a??1时，即a?2，可知g(t)min?g(?1)?4?a?0，即a?4， 2所以2?a?4，
综上，当?4?a?4时，不等式fcosx?asinx?3?【点睛】
本题考查了利用函数奇偶性求函数解析式及定义法证明函数的单调性，重点考查了含参二次不等式恒成立问题，属中档题.
?2?1对任意的x?R恒成立. 2
2020年高中必修一数学上期末模拟试题(带答案)
