第四章 根轨迹法习题及答案
1系统的开环传递函数为
K* G(s)H(s)?
(s?1)(s?2)(s?4)试证明点s1??1?j3在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益K*和开环增益K。
解 若点s1在根轨迹上，则点s1应满足相角条件?G(s)H(s)??(2k?1)?，如图解4-1所示。
对于s??1?j3，由相角条件
?G(s1)H(s1)?
0??(?1?j3?1)??(?1?j3?2)??(?1?j3?4)?
0??2??3??6???
满足相角条件，因此s1??1?j3在根轨迹上。将s1代入幅值条件：
G(s1)H（s1）?K*?1?j3?1??1?j3?2??1?j3?4?1
K*3? 解出 ： K?12 ， K?82*2 已知开环零、极点如图4-22所示，试绘制相应的根轨迹。
（ａ） （ｂ） （ｃ） （ｄ） 1
解 根轨如图解4-2所示：
（ｅ） （ｆ） （ｇ） （ｈ） 题4-22图 开环零、极点分布图
图解4-2 根轨迹图 3 已知单位反馈系统的开环传递函数，要求：
K?(s?z)?（1）确定G(s)?2产生纯虚根为?j1的z值和K值；
s(s?10)(s?20)K?（2）概略绘出G(s)?的闭环根轨迹图（要求
s(s?1)(s?3.5)(s?3?j2)(s?3?j2) 2
确定根轨迹的渐近线、分离点、与虚轴交点和起始角）。
解（1）闭环特征方程
D(s)?s2(s?10)(s?20)?K?(s?z)?s4?30s3?200s2?K?s?K?z?0
有 D(j?)?(??200??Kz)?j(K??30?)?0
42?????200??Kz?0令实虚部分别等于零即： ?
?3??K??30??042??3把??1代入得： K?30， z?19930。
（2）系统有五个开环极点：
?p1?0,p2??1,p3??3.5,p4??3?j2,p5??3?j2
① 实轴上的根轨迹：???,?3.5?, ??1,0?
?1?3.5?(?3?j2)?(?3?j2)?????2.1??a5② 渐近线： ?
???(2k?1)????,?3?,?a?555?③ 分离点：
11111?????0 dd?1d?3.5d?3?j2d?3?j2解得： d1??0.45 , d2?2.4 (舍去) , d3、4??3.25?j1.90 (舍去)
④ 与虚轴交点：闭环特征方程为
D(s)?s(s?1)(s?3.5)(s?3?j2)(s?3?j2)?K??0
把s?j?代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：
?42??Re(j?)?K?10.5??79.5??0
?53??Im(j?)? ??43.5??45.5??0解得：
????1.02????6.52???0
?? ，??，??（舍去）
?K?0?K?71.90?K??15546.3 ⑤ 起始角：根据法则七（相角条件），根轨迹的起始角为
?p4?180?75..96?90?135?146..3?92..74
由对称性得，另一起始角为92.74，根轨迹如图解4-6所示。
???????图解4-6 根轨迹图 3
4 已知控制系统的开环传递函数为
?K（s?2） G(s)H(s)?2 2(s?4s?9)试概略绘制系统根轨迹。
解 根轨迹绘制如下：
① 实轴上的根轨迹： ???,?2? ② 渐近线：
??2?j5?2?j5?(?2)2??????a33 ????(2k?1)????,?a?33?③ 分离点：
图解4-7 根轨迹图 2d?2?j5?2d?2?j5?1d?2
解之得：d??3.29 d?0.71 (舍去)
④ 与虚轴交点：闭环特征方程为
?D(s)?(s2?4s?9)2?K（s?2）?0
把s?j?代入上方程，令
42???Re(D(j?))???34??81?2K?0 ??3??Im(D(j?))?(72?K)??8??0解得：
????21 ??K?96?⑤ 起始角： 90?（2?p1?2?90）?（2k?1）? 解出 ?p1?45,?p2??135 根轨迹如图解4-7所示。
4-８ 已知系统的开环传递函数为
???? 4
K? G(s)?2s(s?3s?9)试用根轨迹法确定使闭环系统稳定的开环增益K值范围。
解 根轨迹绘制如下：
① 实轴上的根轨迹： ???,0? ②起始角： ?30
??1.5?j2.6?1.5?j2.6?????1a??3③渐近线： ?
???(2k?1)????,?a?33?④ 与虚轴交点：闭环特征方程
图解4-8 根轨迹图 D(s)?s(s2?s?9)?K??0
把s?j?代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：
?2??Re(D(j?))?K?3??0 ?3??Im(D(j?))?9????0???0解得： ??
K?0?????3 ??K?27???根轨迹如图解4-8所示。从根轨迹图可知，闭环系统稳定的K范围为0?K?27，又
K?K*9，故相应的的K范围为0?K?3。
5单位反馈系统的开环传递函数为
K?(s2?2s?5) G(s)?
(s?2)(s?0.5)试绘制系统根轨迹，确定使系统稳定的K值范围。
解 根轨迹绘制如下：
① 实轴上的根轨迹： ??2,0.5? ② 分离点：由
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